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第59章 看得见的本征态（求收藏求追读求月票）
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沪上十月的清晨，有一种干净的冷意。
阳光被阶梯教室高大的百叶窗，切割成一道道锋利的“栅栏”，投在水磨石地面上。
将一百多个年轻而紧绷的背影，囚禁在明暗交错的牢笼里。
第一排，卫骁坐姿如松，文具依旧在桌角排成一丝不苟的直线，整个人像一柄磨砺到极致、即将出鞘的利剑。
许嘉诚和周衍则如临大敌，反复做着深呼吸，像两个即将踏上拳台的拳手。
而林允宁依旧坐在最后一排的“风景区”。
开考之前，他口袋里那台老旧的诺基亚1110，在静音模式下，轻微地震动了几下。
他单手滑开键盘锁，幽蓝色的屏幕亮起。
【发件人：秦雅】
“我把《TOEFL阅读长难句100例》的语法结构分析笔记整理好，发你邮箱了，物理决赛加油！^_^”
屏幕还没暗下，又是一震。
【发件人：夏天】
“林柠檬，我的‘冠军气’已经给你了，别给我丢人！”
林允宁看着屏幕上熟悉的颜文字和那句言简意赅的“威胁”，心中那份因大战将至而紧绷的弦，莫名地松了松。
他笑了笑，将手机按灭，塞回兜里。
那两个远在千里之外的好友，一个温柔如水，一个炽烈如火，却在此刻，以各自独有的方式，化作了他心中最柔软的铠甲。
全国中学生物理竞赛决赛的理论考场，是全国所有物理天才的修罗场。
三小时，五道大题。
每一道题，都像一位冷酷的剑客。
只出一招，便能精准地斩断无数人的前路。
前四题，林允宁做得不紧不慢，如同在自家后院散步。
从“旋转圆盘的电磁刹车”到“非均匀介质中的光线追迹”，题目刁钻，计算繁琐，却依旧在他早已烂熟于心的知识体系射程之内。
真正让整个考场气压骤降的，是最后一页，那道价值三十分的压轴大题。
【第五题（30分）】
一个内壁光滑的矩形金属波导（短截成谐振段），在TE₁₀基模下工作。现于腔内横向插入一块厚度为δ（δ远小于腔体尺寸a）、介电常数由ε变为ε+Δε的薄介质片。试问：
1)判断并估算谐振频率f的变化方向与数量级；
2)给出频移与介质片放置位置（横向）、厚度、介电常数的依赖关系；
3)若将介质片置于电场节点附近，结论又将如何？
“嘶——”
后排，许嘉诚看到题目的瞬间，倒吸一口凉气。
微扰论！
这根本不是一道题，这是一个由无数个计算陷阱构成的迷宫！
第一排，卫骁迅速在草稿纸上构建了扰动后的等效导纳矩阵，开始求解修正后的本征方程。
“这样太慢了……”
笔尖不停，但她心中有种掉进陷阱的奇怪感觉。
这种方法虽然严谨，但计算量太大。
她不由自主地想起了后排那个总是懒洋洋的家伙……
如果是他，会用什么更“野”的路子来解？
这个念头只是一闪而过，便被她强行压下。
战场之上，不容分心。
她重新聚焦于眼前的积分符号，目光更加犀利。
她身旁不远处的周衍已经铺开了两张草稿纸，边界条件、正交展开、扰动前后的亥姆霍兹方程……
无数个符号如同蚁群般在纸上蔓延，但当他试图构造微扰后的本征方程时，复杂的三角函数积分和矩阵本征值问题，像一片凭空出现的泥潭，让他只能烦躁地划掉，重来。
拆解，重构，再陷入僵局……
汗水，已经浸湿了周衍的镜片，晕上一团雾气。
坐在他旁边一位不知哪一省的选手，只是看了一眼题目，便长叹一口气，认命般地将草稿纸翻回正面，开始仔细检查前四道题的计算步骤。
——这位，已经放弃了。
而林允宁，只是将那支晨光中性笔的笔帽，轻轻“咔哒”一声按上，又拔下。
清脆的声响，像在给高速运转的大脑点火。
“啧，又是微扰论……”
他心中暗自吐槽，“出题老师没别的好题目了么？这是铁了心要用积分把人淹死啊。”
然而，他没有像其他人那样，立刻扑进那片由麦克斯韦方程组构成的、深不见底的符号丛林。
他只是在答题纸最下方，随手画了一个潦草的长方形，代表波导腔的横截面。
然后，又在横向画了一条平滑的、如同心电图般的弧线——
那是TE₁₀模式下，电场强度的空间分布：两侧金属壁处为零，如同平静的湖岸；腔体正中，能量最强，如同汹涌的浪峰。
一个简洁优雅，却蕴含着大量信息的物理图像，跃然纸上。
他在这幅“心电图”的浪峰处，用笔尖轻轻点了一个极细、极窄的小黑条，代表那块被插入的介质片。
此刻，在他的视野里。
这不再是一道电磁学计算题，而是一幅动态的能量画卷，是一道几何题目。
谐振腔，是一个封闭的能量池。
插入介质片，就像往水池里丢进了一块吸水能力更强的海绵。
它会贪婪地“吸收”周围的电场能量，导致整个能量池的“电容”变大。
而对于一个LC振荡回路，电容变大，振荡频率……
自然会下降。
“啧，原来如此，绕了半天，不就是个‘水囊并联’的问题么？还非得用麦克斯韦方程组包层金边，出题人真够能绕的。”
林允宁心里嫌弃地吐槽一句，终于动笔。
却不是去推导繁琐的边界条件。
他在图下，写下了结论的核心——
能量法的一阶微扰公式：
(Δω\/ω)≈-(1\/2)*[∫(Δε*|E|²) dV ]\/[∫(ε*|E|²) dV ]
他没有去浪费时间去一步步推导这个公式，而是直接引用了结论。
毕竟，竞赛场不是课堂，简单的Slater一阶频移定理结果，没必要慢慢展开。
但他还是用简洁的一句话，将这冰冷的数学符号，翻译成了生动的物理图像：
“插入介质片（Δε>0），等效于增加了该区域的电能存储能力。为维持腔内电磁场能量在时间上的平均守恒，系统总能量对应的谐振频率必须下降。”
第一问，解决！
接下来，一切都顺理成章。
他将那复杂的体积分，用一个极其巧妙的近似，变成了与位置相关的代数式：
由于介质片极薄，体积分可近似为：
Δf\/f≈-(1\/2)*(Δε\/ε)*(Sδ\/ V_eff)*[|E|²_slab \/]
物理图像清晰无比：
频移的大小，正比于介质片的体积分数，以及它所在位置的“能量密度”，也就是场强的平方。
他在那幅简笔画的中央位置，画了一个小小的箭头，标注：
“反节点，|E|²最大，频移最大”。
又在靠近金属壁的两侧画了两个箭头，标注：
“节点，|E|²→0，频移趋近于零”。
寥寥数笔，后两问的答案，也已经跃然纸上。
最后，他甚至懒得代入任何具体数字，只用两行清晰的文字，给出了最核心的数量级估算：
“数量级估算：若ε_r ~ 2 (Δε\/ε~ 1)，薄片体积分数(Sδ\/ V_eff)~ 10⁻³，则频移量级|Δf\/f|~ 10⁻³。频移大小与介质片厚度δ、介电常数增量Δε成正比，并强烈依赖于其在电场中的位置。”
答题纸上，那幅简洁的场分布图，像是从纸页里“浮”了出来，拥有了自己的生命。
所有的公式和文字，都像是为它精心编写的注脚。
第一排，卫骁依旧在笔耕不辍。
她以严谨的矩阵理论，构造了扰动后的等效导纳，列出了边界条件的修正本征方程，将“严谨”二字贯穿到底。
像一台极致稳健，却也无比沉重的德国精密机床。
而林允宁，却早已将笔帽按回，身体向后，靠在了冰凉的椅背上。
像一个刚刚结束晨练的老大爷，懒洋洋地舒展了一下筋骨。
他翻回试卷正面，又仔仔细细地将前四题的计算步骤和单位，检查了几遍。
交卷铃响起的瞬间，整个考场如同一个被瞬间抽掉空气的真空罐。
压抑的沉默之后，是此起彼伏的叹息，仿佛劫后余生。
监考老师从林允宁身边走过，收走试卷时，目光下意识地在那幅简洁的场分布图上，停顿了整整一分钟。
……
“呼——”
走廊里，死寂的空气被瞬间激活。
许嘉诚像是刚从水里捞出来，整个人靠在冰冷的墙壁上，满头是汗，大口喘息。
他拍着脑门，对同样精疲力竭的周衍和有些心不在焉的林允宁说道：
“我靠，我差点被那个该死的边界条件绕进去了！最后一题比我想的还阴！出题人简直不是人！”
“别急着高兴，”
周衍擦了擦眼镜，神色却依旧凝重，他压低声音，“我昨天在QQ上和一个上届进过国家集训队的学长聊，他警告我，真正的‘鬼门关’，是明天的实验考试。”
他顿了顿，推了推眼镜，镜片后的目光闪过一丝凝重，讲述了一个流传于竞赛圈的恐怖故事：
“他说——去年决赛，人大附中的一个大神，实验做到一半，突然停了下来。他盯着那台示波器，足足看了五分钟，然后对监考老师说了一句话——‘这台机器的相位在漂移，我需要重新标定它的传递函数’。”
许嘉诚的笑容瞬间凝固。
“当时所有人都以为他是神经病，”
周衍的声音更低了，“但最后结果出来，全场只有他一个人，算对了那个该死的阻尼系数。据说，那个大神交卷的时候，实验报告后面附了一页纸，全是关于那台示-波器传递函数的推导。从那天起，圈子里就流传一句话——在决赛的实验场，永远别把仪器当队友……”
他顿了顿，补上了那句让许嘉诚汗毛倒竖的后半句：
“把它当犯人审。”
“我靠……别说了，再说我今晚都睡不着了！”
许嘉诚夸张地打了个哆嗦，“我现在看谁都不像好人……呃，林神仙除外啊。”
风从楼梯井里倒灌上来，带着沪上深秋独有的凉意。
林允宁拉了拉校服的拉链，打了个哈欠，目光却像一把刚刚擦拭过的手术刀，反着冰冷的光。
他很清楚——那个真正会“说谎”的对手，马上就要登场了。
……
阳光被阶梯教室高大的百叶窗，切割成一道道锋利的“栅栏”，投在水磨石地面上。
将一百多个年轻而紧绷的背影，囚禁在明暗交错的牢笼里。
第一排，卫骁坐姿如松，文具依旧在桌角排成一丝不苟的直线，整个人像一柄磨砺到极致、即将出鞘的利剑。
许嘉诚和周衍则如临大敌，反复做着深呼吸，像两个即将踏上拳台的拳手。
而林允宁依旧坐在最后一排的“风景区”。
开考之前，他口袋里那台老旧的诺基亚1110，在静音模式下，轻微地震动了几下。
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他笑了笑，将手机按灭，塞回兜里。
那两个远在千里之外的好友，一个温柔如水，一个炽烈如火，却在此刻，以各自独有的方式，化作了他心中最柔软的铠甲。
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三小时，五道大题。
每一道题，都像一位冷酷的剑客。
只出一招，便能精准地斩断无数人的前路。
前四题，林允宁做得不紧不慢，如同在自家后院散步。
从“旋转圆盘的电磁刹车”到“非均匀介质中的光线追迹”，题目刁钻，计算繁琐，却依旧在他早已烂熟于心的知识体系射程之内。
真正让整个考场气压骤降的，是最后一页，那道价值三十分的压轴大题。
【第五题（30分）】
一个内壁光滑的矩形金属波导（短截成谐振段），在TE₁₀基模下工作。现于腔内横向插入一块厚度为δ（δ远小于腔体尺寸a）、介电常数由ε变为ε+Δε的薄介质片。试问：
1)判断并估算谐振频率f的变化方向与数量级；
2)给出频移与介质片放置位置（横向）、厚度、介电常数的依赖关系；
3)若将介质片置于电场节点附近，结论又将如何？
“嘶——”
后排，许嘉诚看到题目的瞬间，倒吸一口凉气。
微扰论！
这根本不是一道题，这是一个由无数个计算陷阱构成的迷宫！
第一排，卫骁迅速在草稿纸上构建了扰动后的等效导纳矩阵，开始求解修正后的本征方程。
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这个念头只是一闪而过，便被她强行压下。
战场之上，不容分心。
她重新聚焦于眼前的积分符号，目光更加犀利。
她身旁不远处的周衍已经铺开了两张草稿纸，边界条件、正交展开、扰动前后的亥姆霍兹方程……
无数个符号如同蚁群般在纸上蔓延，但当他试图构造微扰后的本征方程时，复杂的三角函数积分和矩阵本征值问题，像一片凭空出现的泥潭，让他只能烦躁地划掉，重来。
拆解，重构，再陷入僵局……
汗水，已经浸湿了周衍的镜片，晕上一团雾气。
坐在他旁边一位不知哪一省的选手，只是看了一眼题目，便长叹一口气，认命般地将草稿纸翻回正面，开始仔细检查前四道题的计算步骤。
——这位，已经放弃了。
而林允宁，只是将那支晨光中性笔的笔帽，轻轻“咔哒”一声按上，又拔下。
清脆的声响，像在给高速运转的大脑点火。
“啧，又是微扰论……”
他心中暗自吐槽，“出题老师没别的好题目了么？这是铁了心要用积分把人淹死啊。”
然而，他没有像其他人那样，立刻扑进那片由麦克斯韦方程组构成的、深不见底的符号丛林。
他只是在答题纸最下方，随手画了一个潦草的长方形，代表波导腔的横截面。
然后，又在横向画了一条平滑的、如同心电图般的弧线——
那是TE₁₀模式下，电场强度的空间分布：两侧金属壁处为零，如同平静的湖岸；腔体正中，能量最强，如同汹涌的浪峰。
一个简洁优雅，却蕴含着大量信息的物理图像，跃然纸上。
他在这幅“心电图”的浪峰处，用笔尖轻轻点了一个极细、极窄的小黑条，代表那块被插入的介质片。
此刻，在他的视野里。
这不再是一道电磁学计算题，而是一幅动态的能量画卷，是一道几何题目。
谐振腔，是一个封闭的能量池。
插入介质片，就像往水池里丢进了一块吸水能力更强的海绵。
它会贪婪地“吸收”周围的电场能量，导致整个能量池的“电容”变大。
而对于一个LC振荡回路，电容变大，振荡频率……
自然会下降。
“啧，原来如此，绕了半天，不就是个‘水囊并联’的问题么？还非得用麦克斯韦方程组包层金边，出题人真够能绕的。”
林允宁心里嫌弃地吐槽一句，终于动笔。
却不是去推导繁琐的边界条件。
他在图下，写下了结论的核心——
能量法的一阶微扰公式：
(Δω\/ω)≈-(1\/2)*[∫(Δε*|E|²) dV ]\/[∫(ε*|E|²) dV ]
他没有去浪费时间去一步步推导这个公式，而是直接引用了结论。
毕竟，竞赛场不是课堂，简单的Slater一阶频移定理结果，没必要慢慢展开。
但他还是用简洁的一句话，将这冰冷的数学符号，翻译成了生动的物理图像：
“插入介质片（Δε>0），等效于增加了该区域的电能存储能力。为维持腔内电磁场能量在时间上的平均守恒，系统总能量对应的谐振频率必须下降。”
第一问，解决！
接下来，一切都顺理成章。
他将那复杂的体积分，用一个极其巧妙的近似，变成了与位置相关的代数式：
由于介质片极薄，体积分可近似为：
Δf\/f≈-(1\/2)*(Δε\/ε)*(Sδ\/ V_eff)*[|E|²_slab \/]
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频移的大小，正比于介质片的体积分数，以及它所在位置的“能量密度”，也就是场强的平方。
他在那幅简笔画的中央位置，画了一个小小的箭头，标注：
“反节点，|E|²最大，频移最大”。
又在靠近金属壁的两侧画了两个箭头，标注：
“节点，|E|²→0，频移趋近于零”。
寥寥数笔，后两问的答案，也已经跃然纸上。
最后，他甚至懒得代入任何具体数字，只用两行清晰的文字，给出了最核心的数量级估算：
“数量级估算：若ε_r ~ 2 (Δε\/ε~ 1)，薄片体积分数(Sδ\/ V_eff)~ 10⁻³，则频移量级|Δf\/f|~ 10⁻³。频移大小与介质片厚度δ、介电常数增量Δε成正比，并强烈依赖于其在电场中的位置。”
答题纸上，那幅简洁的场分布图，像是从纸页里“浮”了出来，拥有了自己的生命。
所有的公式和文字，都像是为它精心编写的注脚。
第一排，卫骁依旧在笔耕不辍。
她以严谨的矩阵理论，构造了扰动后的等效导纳，列出了边界条件的修正本征方程，将“严谨”二字贯穿到底。
像一台极致稳健，却也无比沉重的德国精密机床。
而林允宁，却早已将笔帽按回，身体向后，靠在了冰凉的椅背上。
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他翻回试卷正面，又仔仔细细地将前四题的计算步骤和单位，检查了几遍。
交卷铃响起的瞬间，整个考场如同一个被瞬间抽掉空气的真空罐。
压抑的沉默之后，是此起彼伏的叹息，仿佛劫后余生。
监考老师从林允宁身边走过，收走试卷时，目光下意识地在那幅简洁的场分布图上，停顿了整整一分钟。
……
“呼——”
走廊里，死寂的空气被瞬间激活。
许嘉诚像是刚从水里捞出来，整个人靠在冰冷的墙壁上，满头是汗，大口喘息。
他拍着脑门，对同样精疲力竭的周衍和有些心不在焉的林允宁说道：
“我靠，我差点被那个该死的边界条件绕进去了！最后一题比我想的还阴！出题人简直不是人！”
“别急着高兴，”
周衍擦了擦眼镜，神色却依旧凝重，他压低声音，“我昨天在QQ上和一个上届进过国家集训队的学长聊，他警告我，真正的‘鬼门关’，是明天的实验考试。”
他顿了顿，推了推眼镜，镜片后的目光闪过一丝凝重，讲述了一个流传于竞赛圈的恐怖故事：
“他说——去年决赛，人大附中的一个大神，实验做到一半，突然停了下来。他盯着那台示波器，足足看了五分钟，然后对监考老师说了一句话——‘这台机器的相位在漂移，我需要重新标定它的传递函数’。”
许嘉诚的笑容瞬间凝固。
“当时所有人都以为他是神经病，”
周衍的声音更低了，“但最后结果出来，全场只有他一个人，算对了那个该死的阻尼系数。据说，那个大神交卷的时候，实验报告后面附了一页纸，全是关于那台示-波器传递函数的推导。从那天起，圈子里就流传一句话——在决赛的实验场，永远别把仪器当队友……”
他顿了顿，补上了那句让许嘉诚汗毛倒竖的后半句：
“把它当犯人审。”
“我靠……别说了，再说我今晚都睡不着了！”
许嘉诚夸张地打了个哆嗦，“我现在看谁都不像好人……呃，林神仙除外啊。”
风从楼梯井里倒灌上来，带着沪上深秋独有的凉意。
林允宁拉了拉校服的拉链，打了个哈欠，目光却像一把刚刚擦拭过的手术刀，反着冰冷的光。
他很清楚——那个真正会“说谎”的对手，马上就要登场了。
……